香川県教育委員会発行の登録証とわかってよかったです。都道府県がわからないととても時間がかかる場合があるので。
登録記号番号は、おじさまの刀の番号としてとても大事なものです。それが読めるかもう一度確認してください。
読めないようでしたら、再発行の手続きを香川県教育委員会にします。
とけてなくなった部分がどれくらいかわかりませんのでなんとも言えませんが、詳しくは香川県教育委員会に問い合わせていただいた方がいいかもしれません。
香川県文化行政課　℡087-832-3787　です。
お手元に登録証をもってお電話していただいた方が、わかりやすいと思います。

登録証、無事でありますように。。

所有者変更にはお金はかかりません。

ただ、叔母さまがくださるという叔父さまの軍刀には「銃砲刀剣登録証」はついていますか？
登録証がなければ、所有者変更はもちろん、叔父さまの軍刀を所持することもできません。
（銃刀法違反になってしまいます）
その場合は、まず所轄の警察署に発見届を提出するところから始めます。

また、わからないことがあれば気軽に聞いて下さいませ。
お答えできることは、お答えしますので。